函数及其图像

一、函数及其图像

1、函数：在某一变化过程中，有两个变量x和y。如果对于x的每一个值，y都有唯一的值和它相对应，那么x叫做自变量，y叫做x的函数。

2、函数图像：在平面直角坐标系中，以x的值为横坐标，y的值为纵坐标，描出的点形成的图形叫做函数的图像。

二、函数的表示方法：1、列表法 2、解析法（函数关系式法） 3、图像法

三、学过的函数：1、一次函数 2、二次函数 3、反比例函数

（一）、一次函数

1、定义：形如y=kx+b（k、b是常数k≠0）的函数叫做一次函数.

当b=0时，y=kx+b变为y=kx叫做正比例函数。〖正比例函数是一次函数的特殊形式〗

2、一次函数图像：过点（0、b）和点（、0）的直线

3、一次函数图像的性质：

(1)当k>0时，y随x的增大而增大。 (2)当k<0时，y随x的增大而减小。

4、熟练掌握:

（1）会根据k、b的符号直线在直角坐标系中的伸展方向和大致位置。

(2)会用待定系数法确定直线的解析式【两点法或一点法】

(3)会求直线与坐标轴x轴和y轴的交点坐标。【令y=0或x=0】

（4）会画一次函数图像。【用两点法列表、描点、连线】

（5）会求两条直线的交点坐标。【解方程组】

(6)会求直线与直线、直线与坐标轴围成的多边形的面积。【数形结合】

(7)在实际问题中能根据题意列出函数关系式并准确化简。【列方程】

（8）根据题意中的不等关系求出自变量x的取值范围。【列、解不等式或不等式组】

(9)会根据自变量x的取值范围求函数y的最大值和最小值。【根据增减性和端值】

（10）会求直线与双曲线或抛物线的交点坐标。【解方程组】

（二）、反比例函数

1、定义：形如的函数叫做反比例函数。

2、图像：双曲线

3、图像的性质：

（1）当k>0时在每一象限内y随x的增大而减小（2）当k<0时在每一象限内y随x的增大而增大

4、熟练掌握：

（1）会根据k的符号双曲线所在象限【根据性质】

（2）会用待定系数法确定双曲线的解析式【一点法】

（3）会画反比例函数的图像【列表、描点、连线】

（4）会求直线与双曲线的交点坐标【解方程组】

（5）会根据点的坐标求图形的面积【数形结合】

（6）在实际问题中要注意x>0【图像在第一象限】

（7）会比较函数值y的大小【根据增减性或画草图】

（8）双曲线上一点到坐标轴的垂线段与坐标轴围成的矩形面积S=

（三）、二次函数

1、定义：形如 的函数叫做二次函数

2、形式：

（1）一般形式：

（2）顶点式：

（3）两根式：

3、二次函数的图像：抛物线

4、二次函数图像的性质:

解析式
a的符号	a>0	a<0	a>0	a<0	a>0	a<0
图像
开口方向	向上	向下	向上	向下	向上	向下
对称轴	直线x=0	直线x=0	直线x=h	直线x=h	直线x=	直线x=
顶点坐标	(0,0)	(0,0)	(h,k)	(h,k)	（）	（）
最值	当x=0时 y最小值=0	当x=0时 y最大值=0	当x=h时 y最小值=k	当x=h时 y最大值=k	当x=时 y最小=	当x=时 y最大=
增减性	当x<0时 y随x的增大而减小	当x<0时 y随x的增大而增大	当x<h时 y随x的增大而减小	当x<h时 y随x的增大而增大	当x<时y随x增大而减小	当x<时y随x增大而增大
	当x>0时 y随x的增大而增大	当x>0时 y随x的增大而减小	当x>h时 y随x的增大而增大	当x>h时 y随x的增大而减小	当x>时y随x增大而增大	当x>时y随x增大而减小

5、二次函数与一元二次方程间的关系：

抛物线与x轴交点的横坐标是的两个根。

因此：当>0时，抛物线与x轴有两个交点

当=0时，抛物线与x轴有一个交点

当<0时，抛物线与x轴没有交点

6、抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）

7、抛物线的平移规律

将平移可得到抛物线或

规律如下：在x上〖左加右减〗，

在y上〖上减下加〗或在“=”右边〖上加下减〗

举例：

8、根据图像判断以下代数式的符号

a、 b、c、 、 a+b+c、 a-b+c 、 、

9、确定二次函数解析式的方法

(1)根据题意中的相等关系列出方程后整理

(2)待定系数法:若已知图像过三点，则设一般式，代入后解方程组

(3)若已知顶点坐标，则设顶点式，结合其它条件,代入后解方程或解方程组

(4)若已知图像与x轴两交点坐标，则设两根式，代入后解方程。

10、熟练求抛物线的顶点坐标

（1）将配方得则顶点为（h、k）

（2）顶点坐标公式：（，）