几何知识清单

一、全等三角形

定义：

经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角。

性质：

1．全等三角形的对应角相等。

2．全等三角形的对应边相等。

3．全等三角形的对应边上的高对应相等。

4．全等三角形的对应角的角平分线相等。

5．全等三角形的对应边上的中线相等。

6．全等三角形面积和周长相等。

判定：

1、SSS（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。

2、SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。

3、ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等。

4、AAS（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。

5、RHS（斜边、直角边）：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。

注意：下列两种方法不能验证为全等三角形：

AAA（角角角）：三角相等，不能证全等，但能证相似三角形。

SSA（边边角）：其中一角相等，且非夹角的两边相等。

二、相似三角形

定义：

三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

性质

1、 相似三角形的对应角相等。

2、相似三角形的对应边成比例。

3、相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线等）的比等于相似比。

4、 相似三角形周长的比等于相似比。

5、 相似三角形面积的比等于相似比的平方。

6、相似三角形内切圆、外接圆半径比、直径比、周长比等于相似比。

7、相似三角形内切圆、外接圆的面积比等于相似比的平方。

判定

1、 两角分别对应相等的两个三角形相似。

2、 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相似。

4、 一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。

5、 三边对应平行的两个三角形相似。

6、腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

7、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。（母子三角形）

8、如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

推出

射影定理

直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行相交的)直线上截得的线段也相等。

平行截割定理

两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例.

三、四边形

（一）平行四边形

定义：

有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

性质：

1、平行四边形的对边相等。

2、平行四边形的对角相等。

3、平行四边形的对角线互相平分。

判定：

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

推出

三角形中位线性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

（二）矩形

定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

性质：

1、矩形的四个角都是直角。

2、矩形的对角线相等。

判定：

1、有一个角是直角的平行四边形是矩形。（定义）

2、对角线相等的平行四边形是矩形。

3、有三个角是直角的四边形是矩形。

推出：

直角三角形性质定理：

1、在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么30°角所对的直角边是斜边的一半。

2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（三）菱形

定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

性质：

1、菱形的四边都相等。

2、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

3、菱形面积=1/2×AB（A、B为两条对角线）

判定：

1、一组邻边相等的平行四边形是菱形。（定义）

2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3、四条边相等的四边形是菱形。

（四）正方形

定义：

有一组邻边相等的并有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

性质：

正方形既是矩形，又是菱形。所以它具有矩形的性质，又具有菱形 的性质，如四条边相等，四个角相等，都是直角。

判定：

1、对角线相等的菱形是正方形。

2、有一个角为直角的菱形是正方形。

3、对角线互相垂直的矩形是正方形。

4、一组邻边相等的矩形是正方形。

5、一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 　　 6、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

7、对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。

8、一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。

（五） 梯形

定义

1. 梯形： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2. 等腰梯形：两腰相等的梯形。

等腰梯形的性质：

1、等腰梯形同一底边上的两个角相等；

2、等腰梯形两条对角线相等。

等腰梯形的判定：

同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

四、圆

（一）圆的概念

圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。

（二）位置关系：

1、点与圆的位置关系:

点在圆内 → d<r → 点C在圆内

点在圆上 → d=r → 点B在圆上

点在此圆外→ d>r → 点A在圆外

2 、直线与圆的位置关系:

直线与圆相离 → d>r → 无交点

直线与圆相切 → d=r → 有一个交点

直线与圆相交 → d<r → 有两个交点

3 、圆与圆的位置关系:

外离 → 无交点 → d>R+r

外切 → 有一个交点 → d=R+r

相交 → 有两个交点→ R-r<d<R+r

内切 → 有一个交点→ d=R-r

内含 →无交点 → d<R-r

（三）定理

1、垂径定理

垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧

推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。

推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。

推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。

推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。

一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件，就可以推出其他三条结论。称为知二推三定理。

1. 平分弦所对的优弧

2. 平分弦所对的劣弧

3. 平分弦

4. 垂直于弦

5. 经过圆心

2、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称知一推三定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的一个相等，则可以推出其它的三个结论。

3、圆周角定理

圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

4、弦切角定理

弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

5、圆内接四边形定理

圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

6、圆外切四边形定理

圆的外切四边形的两组对边的和相等

7、相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 。

8、切线定理

（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 。

（3）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 。

（4）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 。

(四)公式

1、公切线长公式

设a为内公切线长，b为外公切线长，两圆圆心距为d，两圆半经分别为R、r，则

a²= d²- (R+r)²

b² = d²- (R-r) ²

2、弧长公式

L=n兀R／180

3、扇形面积公式：

S_扇形=n兀R² ／360=LR／2

五、正多边形

1、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

2、正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

3、正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

4、正n边形的面积Sn=pr／2 p表示正n边形的周长，r为边心距