初中数学学习的内容标准
一、数与代数
（一）数与式
1．有理数
（1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。
（2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道｜a｜的含义（这里a表示有理数）。
（3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）。
（4）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。
（5）能运用有理数的运算解决简单的问题（参见例47）。
2．实数
（1）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。
（2）了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
（3）了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。
（4）能用有理数估计一个无理数的大致范围（参见例48）。
（5）了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。
（6）了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算（参见例49）。
3．代数式
（1）借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义（参见例50）。
（2）能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示。
（3）会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。
4．整式与分式
（1）了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。
（2）理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）。
（3）能推导乘法公式：(a+b)( a- b) = a2- b2； (a±b)2 = a 2±2ab + b 2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算（参见例51）。
（4）能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。
（5）了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算。
（二）方程与不等式
1．方程与方程组
（1）能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型（参见例52）。
（2）经历估计方程解的过程（参见例53）。
（3）掌握等式的基本性质。
（4）能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程。
（5）掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。
（6）*[1]能解简单的三元一次方程组。
（7）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。
（8）会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。
（9）了解一元二次方程的根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）。
（10）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
2．不等式与不等式组
（1）结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质（参见例54）。
（2）能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。
（3）能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。
（三）函数
1．函数
（1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。
（2）结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。
（3）能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析（参见例55）。
（4）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。
（5）能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系（参见例56）。
（6）结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论（参见例57）。
2．一次函数
（1）结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式（参见例58）。
（2）会利用待定系数法确定一次函数的表达式。
（3）能画出一次函数的图像，根据一次函数的图像和表达式 y = kx + b (k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况。
（4）理解正比例函数。（5）体会一次函数与二元一次方程的关系。（6）能用一次函数解决简单实际问题。
3．反比例函数
（1）结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。
（2）能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式 y =
(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况。
（3）能用反比例函数解决简单实际问题。
4．二次函数
（1）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。
（2）会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质。
（3）会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为
的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。
（4）会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。
（5）*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。
二、图形与几何
（一）图形的性质[2]
1．点、线、面、角
（1）通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等（参见例59）。
（2）会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义。
（3）掌握基本事实：两点确定一条直线。
（4）掌握基本事实：两点之间线段最短。
（5）理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离。
（6）理解角的概念，能比较角的大小。
（7）认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差。
2．相交线与平行线
（1）理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等的性质。
（2）理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
（3）理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。
（4）掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（5）识别同位角、内错角、同旁内角。
（6）理解平行线概念；掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
（7）掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
（8）掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 *了解平行线性质定理的证明（参看例60）。
（9）能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
（10）探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么两直线平行；平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）。
（11）了解平行于同一条直线的两条直线平行。
3．三角形
（1）理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。
（2）探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边。
（3）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。
（4）掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（参见例61）。
（5）掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（参见例61）。
（6）掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。
（7）证明定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。
（8）探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
（9）理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
（10）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
（11）了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
（12）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
（13）探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。
（14）了解三角形重心的概念。
4．四边形
（1）了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；探索并掌握多边形内角和与外角和公式。
（2）理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。
（3）探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（4）了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离。
（5）探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形具有矩形和菱形的一切性质（参见例62）。
（6）探索并证明三角形的中位线定理。
5．圆[3]
（1）理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置关系。
（2）探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
（3）探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。
（4）知道三角形的内心和外心。
（5）了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。
（6）探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等（参见例63）。
（7）会计算圆的弧长、扇形的面积。
（8）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
6．尺规作图
（1）能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。
（2）会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。
（3）会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。
（4）在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法。
7．定义、命题、定理
（1）通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。
（2）结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
（3）知道证明的意义和证明的必要性（参见例75），知道证明要合乎逻辑（参见例64），知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。
（4）了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。
（5）通过实例体会反证法的含义。
（二）图形的变化
1．图形的轴对称
（1）通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分（参见例65）。
（2）能画出简单平面图形（点，线段，直线，三角形等）关于给定对称轴的对称图形。
（3）了解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。
（4）认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。
2．图形的旋转
（1）通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等（参见例65）。
（2）了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。
（3）探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质。
（4）认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。
3．图形的平移
（1）通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等（参见例65）。
（2）认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。
（3）运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。
4．图形的相似[4]
（1）了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。
（2）通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。
（3）掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
（4）了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。 *了解相似三角形判定定理的证明。
（5）了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
（6）了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。
（7）会利用图形的相似解决一些简单的实际问题（参见例75）。
（8）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A），知道30°，45°，60°角的三角函数值。
（9）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。
（10）能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
5．图形的投影
（1）通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念。
（2）会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体。
（3）了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型。
（4）通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用。
（三）图形与坐标
1．坐标与图形位置
（1）结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置。
（2）理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。
（3）在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置（参见例66）。
（4）会写出矩形的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形。
（5）在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置（参见例67）。
2．坐标与图形运动
（1）在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。
（2）在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。
（3）在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化。
（4）在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的。
三、统计与概率
（一）抽样与数据分析
1. 经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据。
2. 体会抽样的必要性，通过实例了解简单随机抽样（参见例68）。
3. 会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据。
4. 理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述（参见例69）。5. 体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差（参见例70）。
6. 通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴涵的信息（参见例71）。
7. 体会样本与总体关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差。
8. 能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流（参见例71）。
9. 通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势（参见例72）。
（二）事件的概率
1. 能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率（参看例73，例74）。
2. 知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率。
四、综合与实践
1．结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题。
2．会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告或小论文，并能进行交流，进一步获得数学活动经验。
3．通过对有关问题的探讨，了解所学过知识（包括其他学科知识）之间的关联，进一步理解有关知识，发展应用意识和能力。
学习例题
数与代数
例1-例46略
例47 灾害应对预案。
一次水灾中，大约有20万人的生活受到影响。如果灾情持续一个月，大约需要筹集多少顶帐篷？多少吨粮食？
[说明] 解决此问题需要在一定的假设条件下，进行有理数的运算，最后给出估计。
例如，假定一顶帐篷可以住10个人，需要2万顶；假如要保证一个家庭住一顶帐篷，每个家庭4口人，需要5万顶。假定平均每人每天需要
例48 估计
与0.5比哪个大？与1.0比呢？例49 计算：（1）
；（2）
+
。
[说明] 运用二次根式的加、减、乘、除运算法则进行二次根式的四则运算，根号下仅限于数，不要求进行根号下含字母的二次根式的四则运算，如
，2
+
等。
例50 结合实例解释
[说明] 希望学生理解用字母表示的代数式是有一般意义的。a可以表示数量，例如葡萄的价格是每千克3元，则
例51 利用公式证明例29所显示的运算规律。
[说明]在第二学段的学习中已经发现了如下的运算规律：
15×15=1×2×100+25=225，
25×25=2×3×100+25=625，
35×35=3×4×100+25=1225。
观察后，我们猜测：如果用字母a代表一个正整数，则有如下规律：
(a×10+5)2= a( a+1)×100+25。
但这样的猜测是正确的吗？需要给出证明：
。
这是一个由具体数值计算到符号公式表达的过程，即由特殊到一般的过程。可以让学生感悟，有些问题是可以通过一般性的证明来验证自己所发现的规律，感悟数学的严谨性，增加学习数学的兴趣。
例52 在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿和凳子腿数加起来共有60个，有几个椅子和几个凳子？
[说明]这个问题与例32是相同的。事实上，这个问题可以用三种方法建立模型。在第二学段讨论过的方法是基于四则运算，还可以用一元一次方程的方法或二元一次方程组的方法解决。启发学生从不同的角度思考同一个问题，有利于学生进行比较，加深对于模型的理解。
利用一元一次方程解决此问题时，可以引导学生通过具体列表的方式找出规律、建立方程，这样利于学生理解方程的意义，体会建模的过程。假设椅子数为a，则凳子数为16-a，把例32中的表移过来并用字母代替：
椅子数 凳子数 腿的总数
a =16
16-a =0
a =15
16-a =1
a =14
16-a =2
这样，合题意的方程为
对于二元一次方程组，则可以直接列方程。假设椅子数为a，凳子数为b，可以得到两个方程a+b=16和
从上面的讨论可以看到，用四则运算方法，思考最困难，但是结果最直接；用二元一次方程组的方法，思考最简洁，但是计算较繁琐。
在教学过程中，可以结合具体的教学内容使用这个例子，最后进行比较，启发学生思考。
例53 估计方程
的解。
[说明] 估计方程的解，不仅仅在于求解，也有利于学生直观地探究方程的性质，初步感悟，通过代入数值进行计算也是求方程解的有效途径。一般来说，如果把一个数代入方程左边得到的值为负，把另一个数代入得到的值为正，则在这两个数之间可能有方程的解。根据这个原理，用二分法可以估计方程的解。
分析这个一元二次方程，当x的绝对值较大时，方程的左边必然为正，如-5和3；当x的绝对值较小时，方程的左边必然为负，如2。那么，在-5和2之间，以及在2和3之间方程可能有解。进一步，用同样的道理可以将解的范围缩小，使我们估计的解尽可能精确，如选-5和2的中间值-1.5代入方程的左边进行计算，如果得到的值为正，则在-1.5和2之间有解，否则在-5和-1.5之间有解。可以借助计算器来完成上述的计算过程。
进一步，教师引导学生用公式法解出方程的解，然后借助计算器求解的近似值，并将得出的近似值与前面的估计值进行比较。
例54 小丽去文具店买铅笔和橡皮。铅笔每支0.5元，橡皮每块0.4元。小丽带了2元钱，能买几支铅笔、几块橡皮？
[说明] 对于初中的学生，这个问题是生活常识，但希望学生能通过这个例子学会用数学的思维方式看待生活中的问题。
这是一个求整数解的不等式问题，并且问题是开放的，通过列表具体计算，有助于学生直观理解不等式。
假设买a支铅笔，b块橡皮，可以得到不等式
2。
当a = 1时，计算得到b 
= 3.75，则 b = 3。这样计算，可以建立下面的表格：
a 0 1 2 3 4
b 5 3 2 1 0
金额
2 1.7 1.8 1.9 0
根据上面的表格，小丽可以选择适当的购买方案。
例55 小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家
图14
例56 某书定价8元。如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折。分析并表示购书数量与付款金额之间的函数关系。
[说明] 这是一个分段函数，函数的三种表示法均适用于这个例子。一般来说，列表法适用于变量取值是离散的情况；分段函数应当画图，并且关注分段点处函数的变化情况。
可以分组讨论三种方法，然后让学生分析比较。
例57 甲乙两地相距
[说明] 问题的要点是同时分析两个函数关系。可以启发学生用各种方法来解答第二个问题，在分析、总结学生的解答时，可以把两个函数的图像放在一起进行直观比较。
例58 温度的计量。
世界上大部分国家都使用摄氏（ºC），但美、英等国的天气预报仍然使用华氏（ºF）。两种计量之间有如下对应：
|
ºC |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
|
ºF |
32 |
50 |
68 |
86 |
104 |
122 |
（1）在平面直角坐标系中描述相应的点，观察这些点是否在一条直线上。
（2）如果两种计量之间的关系是一次函数，请给出该一次函数表达式。
（3）求出华氏0度时摄氏是多少度。（4）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？
[说明] 在表中，两个变量对应数值的差之比是一个常数，所以两个变量之间是一次函数关系。摄氏从0度开始，设为横坐标方便。但在求华氏0度对应的摄氏温度时，需要通过函数值来反求自变量的值。在平面直角坐标系中, 该一次函数的图像与直线y = x的交点处的值就是华氏温度的值与摄氏温度的值相等时的值。
图形与几何
例59 从一个侧面为正方形的长方体实物中抽象出长方体、长方形、正方形、线段和顶点。
[说明] 学生在日常生活中见到的物体都是立体的，而在纸上画出的图形都是平面的，这是一类很重要的抽象。特别是把物体表面分解，有利于培养学生的空间观念。
例60 证明：两直线平行，则同位角相等。
图15
[说明] 考虑到学生的实际情况，在教学过程中，给出下面证明方法的时间可以酌情处理。
这个证明可以利用反证法完成，一方面使学生了解结论的证明，另一方面可以帮助学生了解反证法。如图15所示，我们希望证明：如果AB∥CD，那么∠1＝∠2。假设∠1≠∠2，过点O作直线A′B′，使∠EOB′＝∠2。根据“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行”这个基本事实，可得A′B′∥CD。这样，过点O就有两条直线AB，A′B′平行于CD，这与基本事实“过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行”矛盾，说明∠1≠∠2的假设是不对的，于是有∠1＝∠2。
例61 直观阐述基本事实：两组对应边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
[说明] 虽然基本事实是不需要证明的，但是启发学生进行直观分析、探索结论的合理性。
图16-1
图16-2
如图16-1所示，一个三角形由六个元素构成，即三条边和三个角，因此，两个三角形如果三条边和三个角分别相等，则这两个三角形全等。问题是，最少几个元素就可以确定三角形从而构成全等条件呢？
观察图16-1中的△ABC，如果对图中的边BC“视而不见”，这样，对∠B和∠C也就“视而不见”了（如图16-2），此时△ABC的形状和大小并不改变。这就是说，AB，AC两条边及它们的夹角确定了△ABC的形状和大小，于是可以推断，两边以及这两边的夹角可以确定一个三角形。因此，可以认同“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”这个基本事实。
另外，也可以用图形运动（叠合）的方法确认“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”这个结论。
对于基本事实“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”的直观分析可以借助下面的图17-1和图17-2。
图17-1
图17-2
可以进一步引导学生思考，为什么“三个角分别相等的两个三角形全等”不能成为基本事实。
对于以上事实的认可，也可以从六个元素中的一个出发，即由少到多进行考虑，通过画图探索出需要几个元素即可确定一个三角形。
例62 根据性质对平行四边形、矩形、菱形、正方形分类
[说明] 在第一和第二学段都讨论过分类的问题，通过分类有助于学生把握问题本质，了解研究对象的共性与差异。特别是对于几何图形分类，有利于培养几何直观性和思维的层次性。
分类的关键在于确定分类的标准，在不同的标准下可能会有不同的分类结果。一般来说，分类标准可以由粗到细，即由一个特征发展到多个特征（参见例21）。针对本问题把图形分为两类（其中一类可以是空的，在具体教学过程中不出现空集的概念）的标准可以考虑为：对边平行；对边平行且有一个角为直角；对边平行且四条边相等；对边平行、有一个角为直角、四条边相等。还可以通过对角线建立分类标准，等等。在具体教学过程中，可以启发学生想象，也可以做出实物让学生操作。
例63 探索并了解：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等。
[说明] 通过探索和了解此结论的证明，帮助学生体验发现结论到验证结论的过程。
教学中可以参考安排如下的过程：
（1）发现结论。在透明纸上画出如图18-1的图：设
，
是⊙
的两条切线，
，
是切点。让学生操作：沿直线
将图形对折，启发学生思考，或者组织学生交流。学生可以发现：
，
。
这是通过实例发现图形性质的过程。启发学生由特殊到一般，通过合情推理推测出切线长定理的结论。
图18-1
图18-2
（2）证明结论的正确性。如图18-2，连接
和
。因为和是⊙的切线，所以
，即 △
和△
均为直角三角形。又因为和，所以△和△全等。于是有
，。
这是通过演绎推理证明图形性质的过程。
由此可见，合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，都是研究图形性质的有效工具。
上述证明过程没有采用形式化的三段论，但有利于初学者把握证明的条理和说理的逻辑。
例64 如果四边形ABCD 和BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD也是平行四边形。某同学根据下述图形对这个命题给出了证明。
图19
证明：因为ABCD是平行四边形
所以 AD=BC
①
AB=CD
②
又因为BEFC也是平行四边形
所以 BC=EF
③
BE=CF
④
由①③得 AD=EF ⑤
由②④得 AB+BE=DC+CF ⑥
因为⑤⑥成立，所以四边形AEFD是平行四边形。
他的考虑全面吗？
[说明] 引导学生判断上述证明过程是否正确，希望学生通过错误的实例，感悟特殊和一般的关系。
例65 下面图20-2中的三个三角形是由图20-1中的三角形经过平移、旋转和轴对称得到的，分别指出图形运动的形式，并标出对应的角。
图20-1
图20-2
[说明] 把运动后的结果归纳在一起让学生辨认，有利于学生理解三种图形运动形式的不同之处，从而把握平移、旋转和轴对称的基本特征，体验图形运动是研究图形的有力工具。
例66 在直角坐标系中描出下列各点，将各组的点顺次连接起来。观察这个图形，你觉得像什么？
（1）（2，0），（4，0），（6，2），（6，6），（5，8），（4，6），（2，6），（1，8），（0，6），（0，2），（2，0）；（2）（1，3），（2，2），（4，2），（5，3）；
（3）（1，4），（2，4），（2，5），（1，5），（1，4）；
（4）（4，4），（5，4），（5，5），（4，5），（4，4）；
（5）（3，3）。
[说明] 在第二学段已经学习了利用方格纸画直角坐标系，理解整数坐标与格子点的对应关系（参见例38）。在本学段将学习一般的直角坐标系。利用直角坐标系可以把数与图形有机地结合起来，有利于用代数方法研究几何问题，也有利于借助图形直观地探索数量关系的规律性。
这个问题可以进一步扩展：把家乡的地图放在直角坐标系的第一象限内，然后等间隔地画出与坐标轴平行的两组平行线，一边用数字表示，一边用字母表示，然后让学生寻找自己熟悉的地点，并用数字和字母表示出该点。让学生理解，坐标的表示可以是多样的，坐标的核心是对应关系而不是具体表示形式。
例67 如何用方向和距离描述下图21中小红家相对于学校的位置？反过来，学校相对于小红家的位置怎样描述呢？
图21
统计与概率
例68 设计调查方法。
了解本年级的同学是否喜欢某电视剧。调查的结果适用于学校的全体同学吗？适用于全地区的电视观众吗？如果不适用，应当如何改进调查方法？
[说明] 对于许多问题，不可能、有时也不必要得到与问题有关的所有数据，只要得到一部分数据（样本）就可以对于总体的情况进行估计。很显然，如果得到的样本能够客观地反映问题，则估计就会准确一些，否则估计就会差一些。因此，我们希望寻找一个好的抽取样本的方法，使得样本能够客观地反映问题。在本学段，主要学习简单随机抽样方法，这是收集数据中通用的方法，在一般情况下，我们都假定样本是通过随机的方法得到的。
因为同一个年级的学生差异不大，采用简单随机抽样方法比较合适。可以在上学时在学校门口随机问讯，也可以按学号随机问讯。为了分析方便，需要把问题数字化，如喜欢这部电视剧的记为1，不喜欢的记为0。
对于这样的问题，问讯学生数不能少于20人，取40~50人比较合适，取更多的学生当然更好，但需要花费更多的精力。由此可见，一个好的抽样方法不仅希望“精度高”还希望“花费少”。
假设问讯的学生数为n,记录数据的和为m（显然，m为喜欢这部电视剧的人数），则调查结果说明，学生中喜欢这部电视剧的比例为
。我们依此估计本年级的同学中喜欢这部电视剧的比例。
用这个数据估计全地区的电视观众喜欢这部电视剧的比例是不合适的，因为学生、成年人、老年人喜欢的电视剧往往不同。为了对全地区的电视观众喜欢这部电视剧的情况进行估计，可以采用分层抽样方法，比如依据年龄分层，需要知道各年龄段人口的比例，按照比例数分配样本数，而在各个层内则采取随机抽样；或者依据职业分层，等等。教师应该了解分层抽样，在本学段学生只需学习简单随机抽样方法。
例69 某个公司有15名工作人员，他们的月工资情况如下表。计算该公司的月工资的平均数、中位数和众数，并分别解释结果的实际意义。
|
职务 |
经理 |
副经理 |
职员 |
|
人数 |
1 |
2 |
12 |
|
月工资/元 |
5000 |
2000 |
800 |
[说明] 平均数、中位数和众数都是刻画数据的集中趋势的方法，因为方法不同，得到的结论也可能不同。很难说哪一种方法是对的，哪一种方法是错的，我们只能说，能够更客观地反映实际背景的方法要更好一些。在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大，因此，用中位数或众数要比用平均数更客观一些。
不难计算出该公司月工资的中位数和众数均为800元。而
月工资的平均数= 加权平均（可以看成是加权平均）
= 5000×
+2000×
+800×
= 1240（元）。
因此，加权平均往往就是总体平均，其中的权是数据对应的比例。
例70 如果还有一个公司也有15名工作人员，他们的月工资情况如下表。参照例69，比较两个公司的月工资状况。
|
职务 |
经理 |
副经理 |
职员 |
|
人数 |
1 |
2 |
12 |
|
月工资/元 |
3000 |
1800 |
1000 |
[说明]容易计算，这个公司的月平均工资也是1240元。但是两个公司月工资的方差相差很大，通过计算可以得到：例69中数据的方差为1174400，本例中数据的方差为294400，两个方差相差4倍。可以让学生知道，进一步学习“统计与概率”，将会得到“两个方差有非常显著的差异”的结论。
例71 比较自己班级与别的班级同学的身高状况。
[说明]对于两个班级学生身高状况比较，通常可以通过平均值来判断，但有时候仅仅通过平均数是不够的，如果一个班同学之间身高差异很大，而另一个班同学之间身高差异很小，即使前一个班的平均高一些，也不能说这个班的整体状况很好。因此，在判断身高状况时，不仅要看平均值，还需要参考方差。
进一步，可以引导学生逐渐深入地进行数据分析，可以要求学生把身高分段，画出频数直方图，并引导学生讨论，通过直方图是否能得到更多的信息。
例72 下表给出了我国1992~2004年国内生产总值（GDP）。在直角坐标系上描出坐标（年，GDP），并试用直线表示发展趋势。
1992~2004中国GDP变化表（亿元）
|
年份 |
1992 |
1993 |
1994 |
1995 |
1996 |
1997 |
1998 |
|
GDP |
23938 |
34634 |
46759 |
58478 |
67885 |
74463 |
78345 |
|
年份 |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
2004 |
|
|
GDP |
82067 |
89468 |
97315 |
105172 |
117390 |
136876 |
|
[说明] 在现实生活中，有许多数据是与时间有关的，因此这些数据会呈现发展趋势。学生应当能够理解报刊书籍中的这类数据的表达，包括表格、描点、折线图、趋势图等，并且尝试自己表达分析。
对于上述数据，学生应当会描点，虽然这时直角坐标系的度量单位与书本上教的是不一样的，但是只要刻度之间的比例关系一致，表达就是合理的，让学生感悟到：对于实际问题往往需要具体问题具体分析，而不能单纯地套用书本上学到的知识。因为描点呈现线性增长趋势，可以进一步引导学生利用直线来表示这种趋势、预测未来经济发展，感悟变量的随机性。
图22
对于“用直线表示发展趋势”的问题，原则上可以画出很多条直线，教师可以引导学生思考和讨论如何画出合适的直线、如何制定“合适直线”的标准，并且告诉学生，在高中阶段“统计与概率”的学习中将会解决这个问题，引发学生的学习兴趣。
这个例子可以举一反三，不一定局限与时间有关的数据，比如，学生身高与体重的关系，同一种树的树叶长与宽的关系（参见例79）。也可以组织学生查阅资料，探究进出口总量与GDP的关系，人均收入与GDP的关系，等等。
例73 将下面这些卡片混在一起，从中任意选取一张卡片，这张卡片是船的概率是多少？是车的呢？
图23
[说明] 这是例42的继续。学生已经能够理解：任意选取一张卡片，这张卡片是船的可能性比是车的可能性大，现在应当明确地知道其概率分别是
和
。
这个例子可以举一反三，如转动转盘，当转盘停止时指针指向某一特定部分的概率；一个袋子里有几种颜色、数量不同的球，随机摸出某种颜色球的概率，等等。
例74 分析掷两个骰子点数之和的可能性的大小。
[说明] 这个问题看起来很难，无从下手。事实上，这也是简单事件的问题，利用例10的图，可以得到结论：对应的格子越多可能性越大。比如，点子之和为7的可能性最大，为2或者12 的可能性最小。
综合与实践
例75 直觉的误导。
有一张8 cm
8 cm的正方形的纸片，面积是
图24-1
图24-2
[说明]这是一个直觉与逻辑不符的例子，希望学生通过学习体会到：对于数学的结论，完全凭借直觉判断是不行的，还需要通过演绎推理来验证。
一般来说，学生应当是不会相信图24-2中纸片的面积是
在实际教学中可以引导学生先看图、再让学生分组将图剪开，动手操作发现矛盾（64=65？）。然后，尝试找出理由并尝试证明，最后表达收获。
可以采用如下反证法证明，在证明过程中加深对相似图形的理解。
如图25，过D做AC的垂线交AC于F。假定图24-2中的图形是长方形，那么图形的右下角就应当是直角，则在图25中有∠1+∠3=90°。因为∠2+∠3=90°，则∠1=∠2。由相似三角形的判定定理，两个直角三角形△ABC与△DEF相似。由相似三角形对应边成比例，应当有： ，这是不可能的，因此图24-2中的图形不可能是长方形。
由于
，这个差是很小的，因此会造成我们视觉的误差，把图24-2中的图形判断为长方形。
图25
教学中可以鼓励学生运用不同的方法对此问题进行解释。
例76 从年历中想到的。
观察几个年份的年历和月历，思考下面几个问题：
（1）在同一年的月历中，哪些月份的“月历表”的排列是基本一致的？
（2）有一种计算机病毒叫“黑色的星期五”，当计算机的日期是13日又是星期五时，这种病毒就发作。请找出最近的5个使“黑色的星期五”发作的年、月、日。
（3）许多人都认为，“办喜事”最好是“
[说明] 这是一个通过对日常生活观察、发现某些规律的开放性问题，可以根据学生的学习情况，提出不同层次的问题。每一个问题的设计，都是为了让学生学会观察、思考和质疑，提高学生学习数学的兴趣，体会模型思想。
问题（1）是让学生学会观察、学会提问题。这个问题的入手点低，每个学生都能参与，都能有所发现。并且可以培养学生“分类讨论”的意识，分平年和闰年：平年时，1，10月；2，3，11月；4，7月；9，12月的月历表基本一致；闰年时，1，4，7月；2，8月；3，11月；9，12月的月历表基本一致。引导学生在貌似杂乱无章中发现规律，利用规律感悟周期现象。
问题（2）中最近的几个“黑色的星期五”是：
问题（3）中最近的几个“
7 =28。一旦找到了一个“
例77 包装盒中的数学。
（1）让学生分组收集一些商品的空包装纸盒，请大家分别计算出它们的体积和表面积。
（2）请学生将这些盒子拆开，看一看它们是怎样裁剪和粘接出来的。
（3）给一个矩形纸板（如A4纸大小），让学生根据上面的发现，裁剪、折叠出一个无盖长方体的盒子，并计算出它的体积。
（4）同组同学之间比较结果，分析谁的体积比较大？分析怎样能作一个体积更大（最大）的盒子？（只是实验、比较，不要求证明）。
（5）结合一种具体的待包装物体 (如5本书或2个茶杯) 设计一个包装盒，使这个盒子恰能包容它们，如有可能实际做出这个盒子。
[说明] 这是一个过程比较长的活动，可以引导学生体验一个比较完整的问题解决过程。让学生收集包装盒、拆开观察是一个很有益的过程，能很好地启发学生如何寻求解决后面问题的思路。问题（5）是一个实际应用，它的结果不唯一，可以交流展示学生的成果，请学生说明制作过程中的关键数据是如何得到的和裁剪方案是如何形成的。
例78 看图说故事。
如图26，设计两个不同问题情境，使情境中出现的一对变量，满足图示的函数关系。结合图像，讲出这对变量的变化过程的实际意义。
图26
[说明] 通过这个活动，激发学生自己思考并构造出满足特定关系的函数实例，以加深对函数理解。
学生可以设计多种情境，比如，把这个图看成“小王跑步的s-t图”，可以说出下面的故事：小王以常速度
再比如：有一个容积为
老师可以鼓励学生，创设不同的符合函数关系和实际情况的情境。
例79 利用树叶的特征对树木分类。
（1）收集三种不同树的树叶，每种树叶的数量相同，比如，每种树选10片树叶。
（2）分类测量每种树叶子的长和宽，列表记录所得到的数据。
（3）分别计算出树叶子的长宽比，估计每种树树叶的长宽比。
（4）验证估计的结果。
[说明] 我们可以抓住树的某些特征对树进行分类，本例是利用树叶的数据特征来对树进行分类。
本活动适用本学段的各个年级，要求可以不同。学生先通过数据收集和分析知道一些树的树叶的长与宽的比；对于新采集到的树叶，通过长与宽的比来判断这个树叶是属于哪种树。这一学习活动有利于培养学生的数据分析意识，体会有许多事情，通过数据分析可以抓住本质。知道数据不仅仅是别人提供的，还可以自己收集；对于同一种树，叶子长与宽的比也可能是不一样的，进一步感受数据的随机性；体会只要有足够的数据，就能够分析出一些规律性的结论。
教学中可以作如下设计：
（1）建议采用小组活动的形式，学生通过合作交流可以获得较多的数据和信息。
（2）为了使分析的结果更加明显，最好选择树叶区别较大的三种（或者更多）树、而每种树选择的树叶的大小要接近，即区别要小一些。
（3）“估计每种树树叶的长宽比”的方法可以是多样的，比如，对于每种树的10片树叶都测量了长和宽以后，可以用10个比值的众数，也可以用10个比值的中位数；还可以把长和宽各自相加后，取和的比值，这是10个比值的平均数（教师可以思考：为什么不用通常求平均数的方法计算比值的平均数）。针对这个问题，用平均数是比较合适的。
（4）取一片新的树叶，通过这片树叶的长宽之比、参照（3）的估计结果，来判断这片树叶属于哪种树。学生会发现，即使是同一棵树，叶子长与宽的比值恰好等于估计值的可能性也很小，这表现了数据的随机性。可以进一步启发学生考虑一个合理的方案：只要比值大概等于估计值，就可以认为是同一种树，也就是说，需要构造一个以估计值为中心的数值区间，当新取的树叶的长宽比值属于这个区间时就认为属于这个树种。如何合理地构造这个数值区间是重要的，区间太短则可能拒绝同类树种，区间太长则判断的精度就要差。可以考虑下面的方法：当估计值是中位数时，区间由比中位数小两位的比值和比中位数大两位的比值构成；当估计值是平均数时，区间的长度为平均数±σ，或者平均数±2σ，其中σ是样本标准差。让学生感悟决定数值区间的道理（可以告诉学生，进一步的学习，将会从理论上计算区间的长度）。
这个问题可以举一反三。
例80 利用几何图形研究代数问题。
对于给定的两个数x和y，求使得 (x-b)²+ (y-b)² 达到最小的b，也就是说要找到一个b0，使得对任意的b有
(x-b0)² + (y-b0)² (x-b)² + (y-b)²。
[说明] 利用直角坐标系，不仅能够推导出几何图形的代数表达式，还能够利用几何图形来研究代数问题，这是帮助学生建立几何直观的有效途径。
图27
可以把给定的两个数看作数对，对应于二维平面的点（见图27），用A(x，y)表示。对于任意数b也可以看作数对(b，b)，用点B(b，b)表示。
回忆关于直线的学习，由图27可以看到，点B(b，b)是在通过第一象限、与横坐标倾斜45°角的直线上。我们的问题用几何语言可以表述为：在这条直线上寻找一点，使得这一点到给定点A(x，y)的距离最短。显然，这一点应当是点A(x，y)到直线的垂足，设其为B′(b0，b0)。因为
(x-b)²+ (y-b)² = (x-b0+b0-b)²+ (y-b0+b0-b)²
= [(x-b0)²+ (y-b0)²] + 2[(x-b0) + (y-b0)]( b0-b) + 2(b0-b)²。
由图27，我们可以把上式左边看作线段AB长的平方，上式右边第一个中括号中的两项之和看作线段AB′长的平方，最后一项看作线段BB′长的平方，因为B′是A到直线的垂足，由勾股定理，上式右边第二项应当为0，即(x-b0) + (y-b0)=0，可以得到b0=(x+y)/2。
从上面的计算结果可以看到，b0正是x和y的算术平均。上面的证明方法和结果可以推广到n个数据，即对于给定的n个数 x1，…，xn，使得
(x1-b)² +…+ (xn-b)²
达到最小的b为 
(x1+…+xn)，这是n个数据的平均数。在“统计与概率”中，通常称上式为离差平方和，如果把n个数据看作样本，那么，样本平均使样本的离差平方和达到最小，因此在“统计与概率”中经常会用到样本平均。